Berikut ini contoh soal dan pembahasan Panalaran Matematika SNBT.
SNB Panalaran Matematika
No. 1. Persentase
Sebuah penelitian dilakukan untuk menguji efektivitas pemberian vaksin untuk mencegah flu. Penelitian dilakukan terhadap 1000 pasien, dimana 500 diantaranya merupakan penerima vaksin dalam 3 bulan yang lalu, dan 500 lainnya bukanlah penerima vaksin. Kemudian masing-masing pasien dimintai keterangan apakah terkena flu dalam dua bulan terakhir. Datanya kemudian dirangkum seperti berikut ini:
Di bawah 18 tahun: 18 pasien telah divaksin dan 63 belum.
18-30 tahun: 4 pasien telah divaksin dan 32 belum.
31-50 tahun: 5 pasien telah divaksin dan 29 belum.
51-70 tahun: 4 pasien telah divaksin dan 51 belum.
Lebih dari 70 tahun: 19 pasien telah divaksin dan 75 belum.
1. Berdasarkan penelitian tersebut, berapa persen lebih kecilkah kemungkinan pasien yang telah divaksin terserang flu dibandingkan pasien yang belum divaksin?
A. 60%
B. 65%
C. 75%
D. 80%
E. 85%
Pembahasan:
Untuk menentukan berapa persen lebih kecil kemungkinan pasien yang telah divaksin terserang flu dibandingkan pasien yang belum divaksin, kita perlu menghitung rasio antara jumlah pasien yang terserang flu yang telah divaksin dan jumlah pasien yang terserang flu yang belum divaksin, lalu mengalikan dengan 100%.
Dari data yang diberikan:
- Di bawah 18 tahun: Pasien terserang flu yang telah divaksin = 18, Pasien terserang flu yang belum divaksin = 63
- 18-30 tahun: Pasien terserang flu yang telah divaksin = 4, Pasien terserang flu yang belum divaksin = 32
- 31-50 tahun: Pasien terserang flu yang telah divaksin = 5, Pasien terserang flu yang belum divaksin = 29
- 51-70 tahun: Pasien terserang flu yang telah divaksin = 4, Pasien terserang flu yang belum divaksin = 51
- Lebih dari 70 tahun: Pasien terserang flu yang telah divaksin = 19, Pasien terserang flu yang belum divaksin = 75
Total Pasien terserang flu yang telah divaksi
Jumlah tital pasien terserang flu sebelum divaksin
Rasio / Perbandiungan jumlah pasien terserang flu yang telah divaksi dan sebelum divaksin.
Kemudian, kita perlu mencari berapa persen lebih kecilnya dari 100% terhadap 20% tersebut:
Persen lebih kecil = 100% – 20% = 80%
Jadi, kemungkinan pasien yang telah divaksin terserang flu dibandingkan pasien yang belum divaksin adalah 80% lebih kecil.
Jawaban: D. 80%
No. 2. Persentase
Jika Dinas Kesehatan menginginkan vaksinasi lebih difokuskan kepada kelompok usia dengan perbedaan persentase terbesar pasien yang telah divaksin dan terkena flu dengan pasien yang tidak divaksin dan terkena flu, maka kelompok manakah yang akan menjadi fokus departemen Kesehatan?
A. Di bawah 18 tahun
B. 18 – 30 tahun
C. 31 – 50 tahun
D. 51 – 70 tahun
E. Lebih dari 70 tahun
Pembahasan:
Untuk menemukan kelompok usia dengan perbedaan persentase terbesar pasien yang telah divaksin dan terkena flu dengan pasien yang tidak divaksin dan terkena flu, kita perlu mencari perbedaan persentase tersebut untuk setiap kelompok usia yang diberikan.
Perbedaan persentase untuk setiap kelompok usia:
Di bawah 18 tahun: ((18/63) – (63/81)) X 100% ≈ -50.79%
31-50 tahun: ((4/32) – (32/36)) X 100% ≈ -62.50%
51-70 tahun: ((5/29) – (29/34)) X 100% ≈ -60.92%
Lebih dari 70 tahun: ((19/75) – (75/94)) X 100% ≈ -58.02%
Kelompok usia dengan perbedaan persentase terbesar adalah 31-50 tahun.
Jadi, Departemen Kesehatan akan memfokuskan vaksinasi lebih kepada kelompok usia 31-50 tahun.
Jawaban: C. 31 – 50 tahun
3. Jika 2a + 1 < 0 dan grafik y = x² - 4ax + a bersinggungan dengan grafik y = 2x² + 2x, maka a² + 1 adalah...
A. 17/16
B. 5/4
C. 2
D. 5
E. 17
Pembahasan:
Kita tahu bahwa 2a + 1 <0, jadi a < - 1/2 → a² > 1/4 (kedua ruas ditambah 1)
menjadi a² + 1 > 5/4
Sehingga,kita tahu bahwa jawaban A, B pasti salah! Grafik bersinggungan artinya determinan dari f(x) = y1 – y2 sama dengan nol. Dengan mudah kita tahu bahwa nilai pada masing-masing jawaban C, D, E adalah 1, 2, 4.
Mari kita cek pada kedua kurva apakah benar bersinggungan?
D= 0 → B² – 4AC = 0
(4a + 2)² + 4a = 0
Dengan menguji nilai 1, 2, 4 maka nilai a yang memenuhi hanya a = -1 sehingga, jelas bahwa a² +1 = 1+1 = 2
Jawaban: C. 2
SMA X memiliki 6 kelas dengan banyak siswa pada setiap kelas adalah 16 pria dan 16 wanita. Jika untuk kepengurusan OSIS dipilih satu orang dari setiap kelas, maka peluang 2 orang wanita yang menjadi pengurus OSIS adalah …
A. 32/64
B. 15/64
C. 6/64
D. 2/64
E. 1/64
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan prinsip dasar probabilitas. Pertama, kita akan menghitung jumlah total kemungkinan pemilihan 2 orang dari setiap kelas. Karena setiap kelas memiliki 16 pria dan 16 wanita, maka total siswa per kelas adalah 16 + 16 = 32 siswa.
Kemudian, kita akan menghitung jumlah kemungkinan pemilihan 2 orang wanita dari setiap kelas. Karena setiap kelas memiliki 16 wanita, maka jumlah kemungkinan pemilihan 2 orang wanita dari setiap kelas adalah kombinasi 16 dari 2, yang dapat dihitung dengan rumus:
C(n, k) = n!/k!(n−k)!
di mana (n) adalah jumlah item yang dipilih (16 wanita dalam hal ini), dan (k) adalah jumlah item yang dipilih dalam satu pengambilan (2 dalam hal ini).
C(16, 2) = 16!/2!(16-2)! = 16!/2!14! = 16 X 15/2 = 120
Kemudian, karena ada 6 kelas, maka jumlah total kemungkinan pemilihan 2 orang wanita dari setiap kelas adalah 120 X 6 = 720
Selanjutnya, kita akan menghitung jumlah total kemungkinan pemilihan 2 orang dari setiap kelas. Ini dapat dihitung menggunakan kombinasi 32 dari 2, karena ada 32 siswa total dalam setiap kelas.
C(32, 2) = 32!/2!(32-2)! = 32!/2!30! = 32 X 31/2 = 496
Kemudian, karena ada 6 kelas, maka jumlah total kemungkinan pemilihan 2 orang dari setiap kelas adalah 496 X 6 = 2976
Akhirnya, untuk menemukan peluang 2 orang wanita dipilih sebagai pengurus OSIS, kita bagi jumlah kemungkinan pemilihan 2 wanita dari setiap kelas dengan jumlah total kemungkinan pemilihan 2 orang dari setiap kelas.
Peluang = 720/2976 = 15/64
Jawaban: B. 15/64.
Tiga puluh data mempunyai nilai rata-rata p. Jika rata-rata 20% data diantaranya adalah p + 0,1, 40% lainnya adalah p – 0,1, 10% lainnya lagi adalah p – 0,5 dan rata-rata 30% data sisanya adalah p + q, maka q ….
A. 1/5
B. 7/30
C. 4/15
D. 3/10
E. 1/3
Pembahasan:
Kita tahu bahwa jumlah seluruh data adalah 100%, dan terbagi-bagi menjadi 20%, 40%, 10% dan 30%. Jadi kita tidak perlu mencari berapa banyak 20% dari 30 data, melainkan agar lebih efisien maka perhitungannya menggunakan persentase banyak data saja. Perhatikan juga bahwa semua data mengandung. Jadi abaikan saja. Jadi, angka dibelakang adalah nilai simpangan data terhadap rata-rata. Ingat, jumlah seluruh
simpangan data ke rata-rata haruslah nol. Sehingga diperoleh:
20(0,1) + 40(-0,1) + 10(-0,5) + 30(q) = 0
2 – 4 – 5 + 30q = 0
30q = 7
q = 7/30
Jawaban: B. 7/30
6. Jika cos x = 2 sin x, maka nilai sin x cos x adalah…
A. 1/5
B. 1/4
C. 1/3
D. 2/5
E. 2/3
Pembahasan:
Kita tahu bahwa cos x = 2 sin x adalah tan x = 1/2
maka sin x cos x adalah 2/5
Jawaban: D. 2/5
Dalam suatu kelas terdapat 12 murid laki-laki dan 16 murid perempuan. Rata-rata nilai ulangan Matematika di kelas tersebut adalah 80. Setelah melihat hasil tersebut, guru Matematika memberikan kesempatan kepada 4 murid, dengan nilai masing-masing 52, 56, 62, dan 66, untuk melakukan remedial. Diketahui bahwa nilai rata-rata peserta remedial naik 7 poin.
7. Jika sebelum remedial rata-rata nilai ulangan murid laki-laki di kelas tersebut adalah 78, rata-rata nilai ulangan murid perempuan adalah ….
A. 80,5
B. 81
C. 81,5
D. 82
E. 82,5
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memperhatikan bahwa nilai rata-rata kelas sebelum remedial adalah 80. Jumlah total murid di kelas tersebut adalah 12 (laki-laki) + 16 (perempuan) = 28 murid. Total nilai sebelum remedial adalah 80 × 28 = 2240.
Jumlah nilai semua murid laki-laki sebelum remedial adalah 12 (jumlah murid laki-laki) × 78 (rata-rata nilai murid laki-laki sebelum remedial) = 936.
Jumlah nilai semua murid perempuan sebelum remedial dapat dihitung dengan mengurangkan jumlah nilai semua murid laki-laki dari total nilai kelas: 2240 – 936 = 1304.
Rata-rata nilai murid perempuan sebelum remedial dapat dihitung dengan membagi jumlah nilai semua murid perempuan dengan jumlah murid perempuan: 1304 ÷ 16 = 81,5.
Jawaban: C. 81,5.
Perhatikan pernyataan berikut.
1. Rata-rata nilai kelas tanpa memperhitungkan keempat murid yang mengikuti remedial adalah 83,5.
2. Sebelum remedial, rata-rata nilai ulangan murid yang mengikuti remedial adalah 60.
3. Setelah remedial, rata-rata nilai ulangan seluruh murid menjadi 81.
4. Jangkauan data nilai murid yang mengikuti remedial adalah 15.
Pernyataan di atas yang benar adalah ….
A. 1,2, dan 3
B. 1 dan 3
C. 2 dan 4
D. 4
E. 1, 2, 3, dan 4
Pembahasan:
Pernyataan 1: Rata-rata nilai kelas tanpa memperhitungkan keempat murid yang mengikuti remedial adalah 83,5. Ini benar karena sebelum remedial, nilai rata-rata kelas adalah 80 dan setelah remedial naik 7 poin menjadi 87,5. Maka, nilai rata-rata sebelum remedial adalah (83,5 – 7) = 80.
Pernyataan 3: Setelah remedial, rata-rata nilai ulangan seluruh murid menjadi 81. Ini benar karena jika rata-rata sebelum remedial adalah 83,5, dan rata-rata setelah remedial naik 7 poin, maka rata-rata setelah remedial adalah (83,5 + 7) = 90,5. Namun, karena sebelum remedial rata-rata nilai kelas adalah 80, maka rata-rata setelah remedial adalah (80 + 7) = 87.5, yang mendekati 81.
8Akan dipilih pengurus inti kelas yang terdiri dari 5 murid. Peluang kelas memiliki satu atau dua murid laki-laki sebagai anggota pengurus inti adalah …
A. 22/63
B. 47/63
C. 70/117
D. 88/117
E. 134/273
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung jumlah cara memilih 1 atau 2 murid laki-laki dari total 5 murid yang dipilih sebagai pengurus inti kelas.
Jumlah total cara memilih 5 murid dari 28 murid di kelas adalah kombinasi 28 murid diambil 5 per 28C5 = 98280.
Jumlah cara memilih 1 murid laki-laki dan 4 murid perempuan adalah kombinasi 12 murid laki-laki diambil 1 dan 16 murid perempuan diambil 4 per 12C1 × 16C4 = 1920.
Jumlah cara memilih 2 murid laki-laki dan 3 murid perempuan adalah kombinasi 12 murid laki-laki diambil 2 dan 16 murid perempuan diambil 3 per 12C2 × 16C3 = 6720.
Jumlah total cara memilih pengurus inti kelas yang memiliki satu atau dua murid laki-laki adalah 1920 + 6720 = 8640.
Peluangnya adalah jumlah cara memilih pengurus inti kelas yang memiliki satu atau dua murid laki-laki dibagi dengan jumlah total cara memilih 5 murid, yaitu 8640/98280 = 88/117.
Jawaban: D. 88/117.
Pada ulangan matematika diketahui nilai rata-rata kelas adalah 67. Jika rata-rata nilai matematika untuk siswa 65 dan untuk siswa 70 maka perbandingan banyaknya siswa dan siswi pada kelas tersebut adalah…
A. 2 : 3
B. 3 : 2
C. 4 : 3
D. 6 : 2
D. 8 : 3
Pembahasan:
Misalkan, banyak siswa laki-laki=L, dan banyak siswa perempuan=P.
67(P+L)=65L+70P
67P+67L=65L+70P
2L=3P
Maka, L:P=3:2
Jawaban: B. 3 : 2